A história

O Teorema de Pitágoras: O Caminho da Verdade


Pitágoras (569-475 aC) é reconhecido como o primeiro matemático do mundo. Ele nasceu na ilha de Samos e foi pensado para estudar com Tales e Anaximandro (reconhecidos como os primeiros filósofos ocidentais). Pitágoras acreditava que os números não eram apenas o caminho para a verdade, mas a própria verdade. Por meio da matemática, pode-se alcançar a harmonia e viver uma vida mais fácil. Diz-se que ele propôs uma série de teoremas matemáticos para esse fim, mas, de todos eles, apenas o famoso teorema de Pitágoras permanece (Allen, 1966).

O historiador Robinson escreve: “A afirmação de que` Pitágoras trabalhou muito no lado aritmético da geometria 'é ainda confirmada pela tradição de que ele investigou o problema aritmético de encontrar triângulos tendo o quadrado de um lado igual à soma dos quadrados nas outras duas ”e o fez, desde o início, usando pedras em fileiras para compreender as verdades que tentava transmitir (1968). O Teorema de Pitágoras afirma que a² + b² = c². Isso é usado quando nos é dado um triângulo no qual sabemos apenas o comprimento de dois dos três lados. C é o lado mais longo do ângulo conhecido como hipotenusa. Se a é o ângulo adjacente, então b é o lado oposto. Se b é o ângulo adjacente, então a é o lado oposto. Se a = 3 e b = 4, poderíamos então resolver para c. 32 + 42 = c². 9 + 16 = c². 25 = c². c = 5. Este é um dos principais usos do Teorema de Pitágoras.

Existem muitas provas do Teorema de Pitágoras, sendo a mais conhecida a prova de Euclides do Livro I de sua Elementos.

Proposição: Em triângulos retângulos, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas.

Euclides começou com uma configuração pitagórica e então desenhou uma linha através de um diagrama ilustrando as igualdades das áreas. Concluiu que AB / AC = AC / HA, portanto (AC) ² = (HA) (AB). Como AB = AJ, a área do retângulo HAJG corresponde à área do quadrado no lado AC. Da mesma forma, AB / BC = BC / BH também escrito como (BC) ² = (BH) (AB) = (BH) (BD) e desde AB = BD. Assim, vemos que a soma das áreas dos retângulos é a área do quadrado na hipotenusa. Nas palavras de Stephanie Morris, “Isso completa a prova” (Morris, 2011).

Outra prova, mais fácil de entender pelas pessoas, começa com um retângulo dividido em três triângulos, todos com ângulos retos.

O triângulo BEA e o triângulo BCE se sobrepõem ao triângulo ACD. Comparando o triângulo BCE e o triângulo ACD, e olhando para seus lados correspondentes, vemos que AC / BC = AD / EC. Já que AD = BC, AC / AD = AD / EC. Por meio da multiplicação, esta equação é processada (AD) ² = (AC) (AE). A partir dos triângulos ABC e ABE, observando que AB = CD, comparando os ângulos retos dessas duas figuras, renderizamos a equação AC / AB = CD / AE. Da forma do retângulo original, tivemos AB = CD também dado como AC / CD = CD / AE, que é escrito como um problema de multiplicação como (CD) ² = (AC) (AE) e adicionando as equações que temos até agora, obtemos duas novas fórmulas que são (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE) + (AC) (EC) e (CD) ² + (AD) ² = (AC) (AE + EC). Como AC = AE + EC, obtemos (CD) ² + (AD) ² = (AC) ². Tal como acontece com a prova anterior, isso mostra a validade do Teorema de Pitágoras (Morris, 2011).

No Teorema de Pitágoras, cada lado / ângulo é uma informação crítica que nos ajuda a determinar outros ângulos / lados. Pitágoras acreditava em uma verdade objetiva que era numérica. O Teorema de Pitágoras permite que as verdades sejam conhecidas através das equações matemáticas acima, o que significa que existe uma verdade objetiva, fora de qualquer opinião pessoal, que pode realmente ser provada; e isso, finalmente, é o que Pitágoras queria provar por meio de sua obra.

História de amor?

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O Teorema de Pitágoras: O Caminho da Verdade - História

Este ensaio foi inspirado em uma aula que estou cursando neste trimestre. A aula é História da Matemática. Nesta aula, estamos aprendendo como incluir a história da matemática no ensino de matemática. Uma maneira de incluir a história da matemática em sua sala de aula é incorporar antigos problemas de matemática em sua instrução. Outra forma é introduzir um novo tópico com um pouco da história do tópico. Esperançosamente, este ensaio lhe dará algumas idéias de como incluir a história do Teorema de Pitágoras no seu ensino e aprendizagem.

Temos discutido diferentes tópicos que foram desenvolvidos em civilizações antigas. O Teorema de Pitágoras é um desses tópicos. Este teorema é um dos primeiros teoremas conhecidos por civilizações antigas. Recebeu o nome de Pitágoras, um matemático e filósofo grego. O teorema leva seu nome, embora tenhamos evidências de que os babilônios conheciam essa relação cerca de 1000 anos antes. Plimpton 322, uma tabuinha matemática babilônica datada de 1900 a.C., contém uma tabela de triplos pitagóricos. O Chou-pei, um antigo texto chinês, também nos dá evidências de que os chineses sabiam sobre o teorema de Pitágoras muitos anos antes de Pitágoras ou um de seus colegas na sociedade pitagórica o descobrir e provar. Esta é a razão pela qual o teorema recebeu o nome de Pitágoras.

Pitágoras viveu no século VI ou V a.C. Ele fundou a Escola Pitagórica em Crotona. Esta escola era uma academia para o estudo da matemática, filosofia e ciências naturais. A Escola Pitagórica era mais do que uma escola, era & cota de fraternidade intimamente ligada com ritos e observâncias secretas & quot (Eves 75). Por causa disso, a escola foi destruída pelas forças democráticas da Itália. Embora a irmandade estivesse espalhada, ela continuou a existir por mais dois séculos. Pitágoras e seus colegas são creditados com muitas contribuições para a matemática.

O que se segue é uma investigação de como o teorema de Pitágoras foi provado ao longo dos anos.

& quotO quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos quadrados das duas pernas & quot (Eves 80-81).


Este teorema está falando sobre a área dos quadrados que são construídos em cada lado do triângulo retângulo.

Conseqüentemente, obtemos as seguintes áreas para os quadrados, onde os quadrados verde e azul estão nas pernas do triângulo retângulo e o quadrado vermelho está na hipotenusa.

área do quadrado verde é
área do quadrado azul é
área do quadrado vermelho é

Do nosso teorema, temos a seguinte relação:

área do quadrado verde + área do quadrado azul = área do quadrado vermelho ou

Como afirmei anteriormente, esse teorema foi nomeado após Pitágoras porque ele foi o primeiro a prová-lo. Ele provavelmente usou um tipo de prova de dissecação semelhante ao seguinte para provar este teorema.

& quotSe a, b, c denotam as pernas e a hipotenusa do triângulo retângulo dado, e considere os dois quadrados na figura a seguir, cada um tendo a + b como seu lado. O primeiro quadrado é dissecado em seis peças - a saber, os dois quadrados nas pernas e os quatro triângulos retângulos congruentes com o triângulo dado. O segundo quadrado é dissecado em cinco pedaços - a saber, o quadrado da hipotenusa e quatro triângulos retângulos congruentes com o triângulo dado. Subtraindo igual de igual, segue-se agora que o quadrado na hipotenusa é igual à soma dos quadrados nas pernas & quot (Eves 81).

Considere a seguinte figura.

A área do primeiro quadrado é dada por (a + b) ^ 2 ou 4 (1 / 2ab) + a ^ 2 + b ^ 2.
A área do segundo quadrado é dada por (a + b) ^ 2 ou 4 (1 / 2ab) + c ^ 2.
Como os quadrados têm áreas iguais, podemos defini-los iguais a outros e subtrair iguais. O caso (a + b) ^ 2 = (a + b) ^ 2 não é interessante. Vamos fazer o outro caso.
4 (1 / 2ab) + a ^ 2 + b ^ 2 = 4 (1 / 2ab) + c ^ 2
Subtraindo iguais de ambos os lados, temos

concluindo a prova de Pitágoras.
Ao longo dos anos, muitos matemáticos e não matemáticos deram várias provas do Teorema de Pitágoras. A seguir estão as provas de Bhaskara e de um de nossos ex-presidentes, o presidente James Garfield. Escolhi essas provas porque qualquer uma delas seria apropriada para uso em qualquer sala de aula.

Primeira prova de Bhaskara

A prova de Bhaskara também é uma prova de dissecação. É semelhante à prova fornecida por Pitágoras. Bhaskara nasceu na Índia. Ele foi um dos matemáticos hindus mais importantes do século II DC. Ele usou os seguintes diagramas para provar o Teorema de Pitágoras.

Nos diagramas acima, os triângulos azuis são todos congruentes e os quadrados amarelos são congruentes. Primeiro, precisamos encontrar a área do grande quadrado de duas maneiras diferentes. Primeiro, vamos encontrar a área usando a fórmula da área para um quadrado.
Assim, A = c ^ 2.
Agora, vamos encontrar a área encontrando a área de cada um dos componentes e depois somar as áreas.
Área dos triângulos azuis = 4 (1/2) ab
Área do quadrado amarelo = (b-a) ^ 2
Área do grande quadrado = 4 (1/2) ab + (b-a) ^ 2
= 2ab + b ^ 2 - 2ab + a ^ 2
= b ^ 2 + a ^ 2

Desde então, o quadrado tem a mesma área, não importa como você o encontre
A = c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2,
concluindo a prova.


Segunda prova do teorema de Pitágoras de Bhaskara

Nessa prova, Bhaskara começou com um triângulo retângulo e então desenhou uma altitude na hipotenusa. A partir daqui, ele usou as propriedades de similaridade para provar o teorema.

Agora prove que os triângulos ABC e CBE são semelhantes.
Segue do postulado AA que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo CBE, uma vez que o ângulo B é congruente com o ângulo B e o ângulo C é congruente com o ângulo E. Assim, como as razões internas são iguais s / a = a / c.
Multiplicando ambos os lados por ac obtemos
sc = a ^ 2.

Agora mostre que os triângulos ABC e ACE são semelhantes.
Como antes, segue do postulado de AA que esses dois triângulos são semelhantes. O ângulo A é congruente com o ângulo A e o ângulo C é congruente com o ângulo E. Assim, r / b = b / c. Multiplicando ambos os lados por bc obtemos
rc = b ^ 2.

Agora, quando adicionamos os dois resultados, obtemos
sc + rc = a ^ 2 + b ^ 2.
c (s + r) = a ^ 2 + b ^ 2
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2,
concluindo a prova do Teorema de Pitágoras.

Prova de Garfield

O vigésimo presidente dos Estados Unidos deu a seguinte prova para o Teorema de Pitágoras. Ele descobriu essa prova cinco anos antes de se tornar presidente. Ele encontrou essa prova em 1876, durante uma discussão matemática com alguns dos membros do Congresso. Posteriormente, foi publicado no New England Journal of Education. A prova depende do cálculo da área de um trapézio direito de duas maneiras diferentes. A primeira maneira é usando a fórmula da área de um trapézio e a segunda é somando as áreas dos três triângulos retângulos que podem ser construídos no trapézio. Ele usou o seguinte trapézio para desenvolver sua prova.

Primeiro, precisamos encontrar a área do trapézio usando a fórmula da área do trapézio.
A = (1/2) h (b1 + b2) área de um trapézio

No diagrama acima, h = a + b, b1 = a e b2 = b.

Agora, vamos encontrar a área do trapézio somando a área dos três triângulos retângulos.
A área do triângulo amarelo é
A = 1/2 (ba).

A área do triângulo vermelho é
A = 1/2 (c ^ 2).

A área do triângulo azul é
A = 1/2 (ab).

A soma da área dos triângulos é
1/2 (ba) + 1/2 (c ^ 2) + 1/2 (ab) = 1/2 (ba + c ^ 2 + ab) = 1/2 (2ab + c ^ 2).

Visto que esta área é igual à área do trapézio, temos a seguinte relação:
(1/2) (a ^ 2 + 2ab + b ^ 2) = (1/2) (2ab + c ^ 2).


Teorema de Pitágoras

Por que a matemática é diferente (no bom sentido) de todas as outras matérias que você aprendeu na escola?

Duas palavras: Teorema de Pitágoras.

Deixe-me explicar. O teorema de Pitágoras em si não é realmente a razão pela qual a matemática é única, é apenas um exemplo que desejo usar para ilustrar meu ponto. Escolhi esse teorema como exemplo porque, por experiência própria, é uma das poucas coisas que todos se lembram da aula de matemática, independentemente de quanto gostaram de matemática ou de quão bem se saíram no curso. Mas apenas no caso de o P.T. escorregou, aqui está uma recapitulação:

Para qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo direito (90 graus)) é igual à soma do quadrado dos outros dois lados.

Esse resultado é atribuído ao matemático e filósofo grego Pitágoras (daí o nome criativo do teorema). Pitágoras viveu entre os séculos V e VI a.C. e embora ele seja o responsável por provar o teorema, há evidências de que o resultado do teorema era conhecido pelos babilônios 1000 anos antes do nascimento de Pitágoras. Observe este tablet antigo:

Uau, isso é velho. Aqui você pode ler mais sobre os babilônios e o teorema de Pitágoras.

Meu ponto é que em que outra classe você está realizando as mesmas operações que as pessoas realizavam há 3.000 anos? Certamente na aula de história você aprende sobre civilizações anteriores, mas não está sendo ensinado como Faz história da mesma maneira que essas civilizações. A precisão que a história moderna requer era amplamente desconhecida para aqueles povos antigos. Talvez na literatura você tenha lido Homero & # 8217s Ilíada e Odisséia, mas, novamente, você não está sendo ensinado a escrever no mesmo estilo de poesia épica.

Então, por que na aula de matemática, embora os avanços tenham sido feitos e a tecnologia certamente tenha percorrido um longo caminho, ainda achamos benéfico fazer cálculos da maneira como eram feitos há milhares de anos?

Minha resposta: não há nada para aperfeiçoar, nada para melhorar, quando você encontra a verdade. Verdade real.

Para todos nós que defendemos a crença cristã de que Deus é a verdade, qualquer coisa que seja verdadeira é um fato sobre Deus, e a matemática é um ramo da teologia.

"O objetivo principal de todas as investigações do mundo externo deve ser descobrir a ordem e harmonia racionais que foram impostas por Deus e que Ele nos revelou na linguagem da matemática."


Teorema de Pitágoras na matemática babilônica

Neste artigo, examinamos quatro tabuinhas babilônicas, todas com alguma conexão com o teorema de Pitágoras. Certamente os babilônios estavam familiarizados com o teorema de Pitágoras. A tradução de uma tabuinha babilônica preservada no museu britânico é a seguinte: -

Todas as tabuinhas que desejamos examinar em detalhes vêm aproximadamente do mesmo período, ou seja, do Antigo Império Babilônico que floresceu na Mesopotâmia entre 1900 aC e 1600 aC.


Aqui está um mapa da região onde a civilização babilônica floresceu.


O artigo Matemática da Babilônia fornece alguns antecedentes de como a civilização surgiu e os antecedentes matemáticos que eles herdaram.

As quatro tabuinhas que nos interessam aqui chamaremos a tabuinha de Yale YBC 7289, Plimpton 322 (mostrada abaixo), a tabuinha de Susa e a tabuinha de Tell Dhibayi. Vamos falar um pouco sobre essas tabuinhas antes de descrever a matemática que elas contêm.

A tabuinha de Yale YBC 7289 que descrevemos faz parte de uma grande coleção de tabuinhas mantida na coleção Babilônica de Yale da Universidade de Yale. Consiste em um tablet no qual um diagrama aparece. O diagrama é um quadrado de lado 30 com as diagonais desenhadas. A tabuinha e seu significado foram discutidos pela primeira vez em [5] e recentemente em [18].


Plimpton 322 é a tabuinha com o número 322 na coleção de G A Plimpton, localizada na Universidade de Columbia.


Você pode ver na imagem que o canto superior esquerdo do tablet está danificado e há um grande chip saindo do tablet no meio do lado direito. Sua data não é conhecida com precisão, mas é colocada entre 1800 aC e 1650 aC. Acredita-se que seja apenas parte de uma tabuinha maior, o restante da qual foi destruída, e a princípio pensou-se, como muitas dessas tabuinhas, ser um registro de transações comerciais. No entanto, em [5] Neugebauer e Sachs deram uma nova interpretação e, desde então, tem sido objeto de grande interesse.

A tabuinha de Susa foi descoberta na atual cidade de Shush, na região do Khuzistão, no Irã. A cidade fica a cerca de 350 km da antiga cidade de Babilônia. W K Loftus identificou este como um importante sítio arqueológico já em 1850, mas as escavações só foram realizadas muito mais tarde. A tabuinha particular que nos interessa aqui investiga como calcular o raio de um círculo através dos vértices de um triângulo isósceles.

Finalmente, a tabuinha de Tell Dhibayi foi uma das cerca de 500 tabuinhas encontradas perto de Bagdá por arqueólogos em 1962. A maioria está relacionada à administração de uma cidade antiga que floresceu na época de Ibalpiel II de Eshunna e data de cerca de 1750. A tabuinha particular que nos preocupa não é aquela relativa à administração, mas aquela que apresenta um problema geométrico que pede as dimensões de um retângulo cuja área e diagonal são conhecidas.

Antes de examinar a matemática contida nessas quatro tabuinhas, devemos falar um pouco sobre sua importância para a compreensão do escopo da matemática babilônica. Em primeiro lugar, devemos ter cuidado para não ler nas primeiras idéias da matemática que podemos ver claramente hoje, mas que nunca estiveram na mente do autor. Por outro lado, devemos ter cuidado para não subestimar a importância da matemática apenas porque ela foi produzida por matemáticos que pensavam de forma muito diferente dos matemáticos de hoje. Como um comentário final sobre o que essas quatro tábuas nos dizem sobre a matemática babilônica, devemos ter o cuidado de perceber que quase todas as realizações matemáticas dos babilônios, mesmo que todas tenham sido registradas em tábuas de argila, terão sido perdidas e mesmo se essas quatro podem ser vistos como especialmente importantes entre os sobreviventes; eles podem não representar o melhor da matemática babilônica.

Não há nenhum problema em entender do que se trata o tablet Yale YBC 7289.


Aqui está um Diagrama do tablet de Yale


Tem nele um diagrama de um quadrado com 30 de um lado, as diagonais são desenhadas e perto do centro está escrito 1, 24, 51, 10 e 42, 25, 35. É claro que esses números são escritos em numerais babilônicos até a base 60. Veja nosso artigo sobre numerais babilônicos. Agora, os números da Babilônia são sempre ambíguos e nenhuma indicação ocorre de onde termina a parte inteira e começa a parte fracionária. Supondo que o primeiro número seja 1 24, 51, 10, a conversão para um decimal resulta em 1. 414212963 enquanto √ 2 = 1. 414213562. Calculando 30 × [1 24, 51, 10] dá 42 25, 35 que é o segundo número. A diagonal de um quadrado do lado 30 é encontrada multiplicando 30 pela aproximação de √ 2.

Isso mostra uma boa compreensão do teorema de Pitágoras.No entanto, ainda mais significativa é a questão de como os babilônios encontraram essa aproximação notavelmente boa de √ 2. Vários autores, por exemplo, ver [2] e [4], conjecturam que os babilônios usaram um método equivalente ao método de Heron. A sugestão é que eles começaram com uma estimativa, digamos x x x. Eles então encontraram e = x 2 - 2 e = x ^ <2> - 2 e = x 2 - 2 que é o erro. Então

Isso certamente é possível e o entendimento dos babilônios das quadráticas acrescenta algum peso à afirmação. No entanto, não há evidência de que o algoritmo esteja sendo usado em quaisquer outros casos e seu uso aqui deve permanecer apenas como uma possibilidade bastante remota. Posso [EFR] sugerir uma alternativa. Os babilônios produziram tabelas de quadrados; na verdade, todo o seu entendimento de multiplicação foi construído em quadrados redondos, então talvez uma abordagem mais óbvia para eles teria sido fazer duas suposições, uma alta e uma baixa, digamos a a a e b b b. Pegue a média a + b 2 Grande frac 2 2 a + be ao quadrado. Se o quadrado for maior que 2, substitua b b b por este limite melhor, enquanto se o quadrado for menor que 2, substitua a a a por a + b 2 Grande frac 2 2 a + b. Continue com o algoritmo.

Agora, isso certamente leva muito mais etapas para alcançar a aproximação sexagesimal 1 24, 51, 10. Na verdade, começando com a = 1 a = 1 a = 1 eb = 2 b = 2 b = 2 são necessários 19 passos, conforme mostra a tabela abaixo: No entanto, os babilônios não tinham medo de computação e podem estar preparados para continuar esse cálculo direto até que a resposta fosse correta para a terceira posição sexagesimal.


Em seguida, olhamos novamente para Plimpton 322


O tablet possui quatro colunas com 15 linhas. A última coluna é a mais simples de entender, pois fornece o número da linha e, portanto, contém 1, 2, 3,. , 15. O fato notável que Neugebauer e Sachs apontaram em [5] é que em cada linha o quadrado do número c c c na coluna 3 menos o quadrado do número b b b na coluna 2 é um quadrado perfeito, digamos h h h.

Portanto, a tabela é uma lista de triplos inteiros pitagóricos. Bem, isso não é bem verdade, pois Neugebauer e Sachs acreditam que o escriba cometeu quatro erros de transcrição, dois em cada coluna e essa interpretação é necessária para fazer a regra funcionar. Os erros são facilmente vistos como erros genuínos, no entanto, por exemplo, 8, 1 foi copiado pelo escriba como 9, 1.

Vários historiadores (ver por exemplo [2]) sugeriram que a coluna 1 está conectada com a função secante. No entanto, como comenta Joseph [4]: ​​-

Zeeman fez uma observação fascinante. Ele apontou que se os babilônios usassem as fórmulas h = 2 mn, b = m 2 - n 2, c = m 2 + n 2 h = 2mn, b = m ^ <2> -n ^ <2>, c = m ^ <2> + n ^ <2> h = 2 mn, b = m 2 - n 2, c = m 2 + n 2 para gerar triplos pitagóricos, então há exatamente 16 triplos satisfazendo n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 60, 30 ° ≤ t ≤ 45 ° n ≤ 6 0, 3 0 ° ≤ t ≤ 4 5 ° e tan ⁡ 2 t = h 2 / b 2 tan ^ <2> t = h ^ <2> / b ^ <2> tan 2 t = h 2 / b 2 tendo uma expansão sexagesimal finita (que é equivalente a m, n, bm, n, bm, n, b tendo 2, 3 e 5 como seus únicos divisores primos). Agora, 15 dos 16 triplos pitagóricos que satisfazem as condições de Zeeman aparecem no Plimpton 322. É o mais antigo teorema de classificação matemática conhecido? Embora eu não possa acreditar que Zeeman esteja certo, sinto que sua explicação deve estar no caminho certo.

Para dar uma discussão justa de Plimpton 322, devemos acrescentar que nem todos os historiadores concordam que esta tabuinha se refere a trios pitagóricos. Por exemplo, Exarchakos, em [17], afirma que a tabuinha está conectada com a solução de equações quadráticas e não tem nada a ver com os triplos pitagóricos: -

A tabuinha Susa apresenta um problema sobre um triângulo isósceles com lados 50, 50 e 60. O problema é encontrar o raio do círculo através dos três vértices.


Pitágoras e # x27 Outro Teorema: Uma Breve História do Vegetarianismo

Recentemente, em seu programa semanal Heritage Radio Network, "A Taste of the Past", Linda Pellacio entrevistou Rynn Berry, uma autora e conselheira histórica da Sociedade Vegetariana Norte-Americana.

Berry é vegetariana desde que aprendeu, na adolescência, que os animais sentem ansiedade antes do abate. Desde então, seu vegetarianismo evoluiu para um estilo de vida vegano, o que significa que ele exclui todos os produtos de origem animal, incluindo mel, não apenas de sua dieta, mas também de suas roupas.

Com Pellacio, Berry discutiu a trajetória do vegetarianismo, que tem sido uma parte documentada da história desde o século VI a.C. De acordo com Berry, a primeira sociedade vegetariana foi fundada pelo antigo matemático grego Pitágoras (um jogador-chave na geometria do nono ano). Pitágoras não apenas desmistificou os triângulos, mas também divulgou o evangelho do Buda, um contemporâneo de Pitágoras que o inspirou pessoalmente a praticar o vegetarianismo não violento. Para Pitágoras, a abstenção de carne estava enraizada em seus valores espirituais, a nutrição não se tornaria um fator na dieta até muito mais tarde na história. Na verdade, uma dieta sem produtos de origem animal era chamada de dieta "pitagórica" ​​até 1944, quando Donald Watson, fundador da Vegan Society, cunhou a palavra vegan. O vegetarianismo foi documentado pela primeira vez em 1848, provavelmente por um Oxford Scholar.

Berry escreveu vários livros sobre vegetarianismo, incluindo Vegetarianos Famosos. Os abstêmios notáveis ​​de carne incluem Benjamin Franklin, a quem Berry descreveu como "o único pai fundador a ter uma aventura com o vegetarianismo", bem como George Bernard Shaw, que foi famoso por uma equipe de médicos que disse que precisava comer carne ou morrer de fome. Ele não só não morreu de fome, como viveu até os 94 anos.

Outros vegetarianos do século 19 tiveram o legado de seus nomes entrando no léxico alimentar industrial de hoje. John Harvey Kellogg, um adventista do sétimo dia e inventor dos flocos de milho, criou o cereal como uma opção alternativa para o café da manhã sem carne. Sylvester Graham, um ministro presbiteriano que pregava a favor da temperança, grãos integrais e dietas vegetarianas, criou um biscoito que ele acreditava ser um produto nutricionalmente superior. Os entusiastas de S'mores podem ter certeza de que a versão moderna do amado petisco da fogueira, o biscoito de graham, tem pouca semelhança com o protótipo original.

A trajetória do vegetarianismo é particularmente interessante, especialmente na América, onde a história registrou seu renascimento em várias ocasiões. Os primeiros vegetarianos que citei neste artigo foram todos inspirados por suas respectivas religiões a se apegar a uma dieta sem carne. Seus objetivos podem ter variado, mas o ímpeto comum era um senso espiritual de clareza que se pensava ser alcançado comendo uma dieta sem carne. Não foi até o século 20 que a América abraçou o vegetarianismo de forma secular. A geração baby-boomer, estimulada pela violência da década de 1960 e desacreditada por ameaças de desastres ecológicos iminentes, abraçou amplamente uma dieta inspirada na ecologia e um desejo de se aproximar da Terra. Na época do livro icônico de Frances Moore Lappé, Dieta para um pequeno planeta (1971), foi publicado, o vegetarianismo encontrou seu caminho na consciência coletiva da corrente principal da América.

Hoje estamos vendo um redux vegetariano. Por um lado, a nutrição é adorada na sociedade e uma dieta sem carne tornou-se um ponto de entrada aceitável para um estilo de vida saudável. Mesmo as versões extremas do vegetarianismo, como o veganismo e as dietas de alimentos crus, começaram a se livrar do estigma. William Jefferson Clinton, que não foi um fundador, mas um ex-presidente amado, tem falado abertamente sobre sua transição drástica de uma dieta baseada em fast-food para uma dieta vegana estrita. Rynn Berry se referia a Clinton como um "vegetariano coronário", alguém que muda para uma dieta baseada em vegetais por recomendação de seu médico após ter um ataque cardíaco ou um procedimento importante. Possivelmente inspirado por seu ex-presidente, ou talvez apenas aproveitando a onda da tendência atual, o povo americano ouviu uma ladainha de testamentos de celebridades que juram por suas novas dietas sem carne. Raramente a ética é o ímpeto, e o impulso focado na nutrição criou um grupo de jogadores na esquina de "Quero minha carne" e "Quero me sentir bem com isso também". Esse novo negócio de querer se manter saudável sem sacrificar o apetite pelo sabor inspirou movimentos como "Meatless Mondays", que incentiva o compromisso de comer mais abaixo na cadeia alimentar, sem precisar ir embora. Ou peru frio, conforme o caso.

A devoção ética a uma dieta livre de crueldade, podemos ver, foi temperada e popularizada por uma mudança de foco. Sim, ainda nos preocupamos com os animais, mas agora que sabemos que podemos consumir criaturas que viveram vidas saudáveis ​​e felizes, não precisamos mais nos estressar com o fato de o sangue deles permanecer em nossas mãos. É importante notar que apenas 5% dos americanos se identificam como vegetarianos e, para a maioria da população que come carne, existem outras maneiras de impactar o meio ambiente e a própria saúde de uma forma poderosa e positiva. Buscar a diversidade de raças em nosso suprimento de carne e comprar apenas animais criados de forma sustentável são escolhas importantes e eficazes que os carnívoros devem considerar. O vegetarianismo em si é inerentemente complicado. As profundas relações entre a pecuária e as indústrias de laticínios geram um debate considerável ao escolher excluir a carne de uma dieta, mas não o queijo e o leite. Independentemente das escolhas que você faz em sua dieta, quanto mais os pontos estão conectados entre saúde, compaixão e ecologia, mais nutritiva sua dieta se tornará para sua mente e seu corpo.

Ouça a entrevista original entre Linda Pellacio e Rynn Berry aqui.

Para saber mais sobre Rynn Berry e seus livros sobre vegetarianismo, clique aqui.


O Teorema de Pitágoras: O Caminho da Verdade - História

Vamos construir quadrados nas laterais de um triângulo retângulo. O Teorema de Pitágoras então afirma que a soma de (as áreas de) dois pequenos quadrados é igual a (a área de) o maior.

Em termos algébricos, a 2 + b 2 = c 2 Onde c é a hipotenusa enquanto uma e b são os lados do triângulo.

O teorema é de fundamental importância na Geometria Euclidiana onde serve de base para a definição da distância entre dois pontos. É tão básico e conhecido que, acredito, qualquer pessoa que tenha feito aulas de geometria no colégio não poderia deixar de se lembrar dele muito depois de outras noções de matemática terem sido totalmente esquecidas.

Pretendo apresentar várias provas geométricas do Teorema de Pitágoras. Um impulso para esta página foi fornecido por um notável miniaplicativo Java escrito por Jim Morey. Esta é a primeira prova desta página. Um de meus primeiros applets Java foi escrito para ilustrar outra prova euclidiana. Atualmente, existem várias ilustrações Java de várias provas, mas a maioria foi renderizada em HTML puro com diagramas gráficos simples.

Observação

A declaração do Teorema foi descoberta em uma tabuinha babilônica por volta de 1900-1600 a.C. Se Pitágoras (c.560-c.480 a.C.) ou outra pessoa de sua escola foi o primeiro a descobrir sua prova, não pode ser reivindicado com nenhum grau de credibilidade. Euclides (c 300 a.C.) Elementos fornecer a primeira e, posteriormente, a referência padrão em geometria. O miniaplicativo de Jim Morey segue a proposição I.47 (primeiro livro, proposição 47), meu VI.31. O teorema é reversível, o que significa que um triângulo cujos lados satisfazem a 2 + b 2 = c 2 é retângulo. Euclides foi o primeiro (I.48) a mencionar e provar esse fato.

W. Dunham [Universo Matemático] cita um livro A proposição pitagórica por um professor do início do século 20, Elisha Scott Loomis. O livro é uma coleção de 367 provas do Teorema de Pitágoras e foi republicado pelo NCTM em 1968.

O teorema de Pitágoras generaliza para espaços de dimensões superiores. Algumas das generalizações estão longe de ser óbvias.

Larry Hoehn propôs uma generalização plana que está relacionada à lei dos cossenos, mas é mais curta e parece mais bonita.

O Teorema, cuja formulação leva à noção de distância euclidiana e espaços euclidianos e de Hilbert, desempenha um papel importante na Matemática como um todo. Comecei a coletar fatos matemáticos cujas provas podem ser baseadas no Teorema de Pitágoras.

(EWD) sinal (a + b - g) = sinal (a 2 + b 2 - c 2),

onde sign (t) é a função signum:

O teorema ao qual esta página é dedicada é tratado como "Se então Dijkstra merecidamente achar (EWD) mais simétrico e mais informativo. A ausência de quantidades transcendentais (p) é considerada uma vantagem adicional.

Prova 2

Começamos com dois quadrados com lados uma e b, respectivamente, colocados lado a lado. A área total dos dois quadrados é a 2 + b 2 .

A construção não começou com um triângulo, mas agora desenhamos dois deles, ambos com lados uma e b e hipotenusa c. Observe que o segmento comum aos dois quadrados foi removido. Neste ponto, portanto, temos dois triângulos e uma forma de aparência estranha.

Como última etapa, giramos os triângulos 90 o, cada um em torno de seu vértice superior. O direito é girado no sentido horário, enquanto o triângulo esquerdo é girado no sentido anti-horário. Obviamente, a forma resultante é um quadrado com o lado c e área c 2 .

(Uma variante desta prova é encontrada em um manuscrito existente de Th & acircbit ibn Qurra localizado na biblioteca de Aya Sofya Musium na Turquia, registrado sob o número 4832. [R. Shloming, Th & acircbit ibn Qurra e o Teorema de Pitágoras, Professor de Matemática 63 ( Outubro de 1970), 519-528]. O diagrama de ibn Qurra é semelhante ao da prova nº 27. A própria prova começa com a observação da presença de quatro triângulos retângulos iguais circundando uma forma de aparência estranha como na prova atual nº 2. Estes quatro triângulos correspondem em pares às posições inicial e final dos triângulos girados na prova atual. Essa mesma configuração pode ser observada em uma prova por tesselação.)

Prova # 3

Agora começamos com quatro cópias do mesmo triângulo. Três deles foram girados 90 o, 180 o e 270 o, respectivamente. Cada um tem área ab/ 2. Vamos colocá-los juntos sem rotações adicionais para que formem um quadrado com o lado c.

O quadrado tem um buraco quadrado com o lado Somando sua área e 2ab, a área dos quatro triângulos (4 & middotab/ 2), nós temos

Prova # 4

A quarta abordagem começa com os mesmos quatro triângulos, exceto que, desta vez, eles se combinam para formar um quadrado com o lado (a + b) e um buraco com a lateral c. Podemos calcular a área do grande quadrado de duas maneiras. Assim

(a + b) 2 = 4 & middotab/2 + c 2

simplificando, obtemos a identidade necessária.

Prova # 5

Esta prova, descoberta pelo presidente J.A. Garfield em 1876 [Pappas], é uma variação do anterior. Mas desta vez não desenhamos quadrados. A chave agora é a fórmula para a área de um trapézio - metade da soma das bases vezes a altitude - (a + b) / 2 e middot (a + b) Olhando para a imagem de outra forma, isso também pode ser calculado como a soma das áreas dos três triângulos - ab/2 + ab/2 + c& middotc/ 2. Como antes, as simplificações resultam a 2 + b 2 = c 2 .

Duas cópias do mesmo trapézio podem ser combinadas de duas maneiras, anexando-as ao longo do lado inclinado do trapézio. Um leva à prova # 4, o outro à prova # 52.

Prova # 6

Começamos com o triângulo original, agora denominado ABC, e precisamos apenas de uma construção adicional - a altitude AD. Os triângulos ABC, BDA e ADC são semelhantes, o que leva a duas razões:

AB / BC = BD / AB e AC / BC = DC / AC.

Escrito de outra maneira, eles se tornam

AB & middotAB = BD & middotBC e AC & middotAC = DC & middotBC

Em uma correspondência privada, o Dr. France Dacar, Ljubljana, Eslovênia, sugeriu que o diagrama à direita pode servir a dois propósitos. Primeiro, ele fornece uma representação gráfica adicional para a presente prova # 6. Além disso, ele destaca a relação deste último com a prova # 1.

Prova # 7

A próxima prova é tirada literalmente de Euclides VI.31 na tradução de Sir Thomas L. Heath. O grande G. Polya o analisa em sua Indução e Analogia em Matemática (II.5), que é uma leitura recomendada para alunos e professores de Matemática.

Nos triângulos retângulos, a figura do lado subtendendo o ângulo reto é igual às figuras semelhantes e descritas de forma semelhante nos lados que contêm o ângulo reto.

Seja ABC um triângulo retângulo com o ângulo BAC reto. Eu digo que a figura em BC é igual às figuras semelhantes e descritas de forma semelhante em BA, AC.

Seja AD perpendicular. Então, uma vez que, no triângulo retângulo ABC, AD foi desenhado a partir do ângulo reto em A perpendicular à base BC, os triângulos ABD, ADC adjacentes à perpendicular são semelhantes a todo o ABC e um ao outro [VI.8 ]

E, como ABC é semelhante a ABD, portanto, como CB está para BA, AB está para BD [VI.Def.1].

E, como três retas são proporcionais, como a primeira está para a terceira, o mesmo ocorre com a figura da primeira para a figura semelhante e descrita de forma semelhante na segunda [VI.19]. Portanto, como CB está para BD, a figura em CB está para a figura semelhante e descrita de forma semelhante em BA.

Pela mesma razão também, como BC está para CD, assim é a figura em BC para aquela em CA de forma que, além disso, como BC está para BD, DC, o mesmo acontece com a figura em BC para as figuras semelhantes e descritas de forma semelhante em BA, AC.

Mas BC é igual a BD, DC, portanto, a figura em BC também é igual às figuras semelhantes e descritas de forma semelhante em BA, AC.

Confissão

Tive um verdadeiro apreço por essa prova somente depois de ler o livro de Polya que mencionei acima. Espero que um miniaplicativo Java ajude você a chegar ao fundo dessa prova notável. Observe que a declaração realmente provada é muito mais geral do que o teorema como é geralmente conhecido.

Prova # 8

Brincando com o miniaplicativo que demonstra a prova de Euclides (# 7), descobri outro que, embora feio, serve ao propósito.

Assim, começando com o triângulo 1, adicionamos mais três da maneira sugerida na prova nº 7: triângulos 2, 3 e 4 semelhantes e descritos de forma semelhante. Derivando algumas razões como foi feito na prova nº 6, chegamos aos comprimentos laterais como descrito no diagrama. Agora, é possível ver a forma final de duas maneiras:

  • como uma união do retângulo (1 + 3 + 4) e o triângulo 2, ou
  • como uma união do retângulo (1 + 2) e dois triângulos 3 e 4.

ab / c & middot (a 2 + b 2) / c + ab / 2 = ab + (ab / c & middot a 2 / c + ab / c & middot b 2 / c) / 2

ab / c & middot (a 2 + b 2) / c / 2 = ab / 2, ou (a 2 + b 2) / c 2 = 1

Observação

Em retrospecto, há uma prova mais simples. Observe o retângulo (1 + 3 + 4). Seu lado longo é, por um lado, c simples, enquanto, por outro lado, é a 2 / c + b 2 / ce nós novamente temos a mesma identidade.

Prova # 9

Outra prova decorre de um rearranjo de peças rígidas, muito parecido com a prova # 2. Isso torna a parte algébrica da prova nº 4 completamente redundante. Não há muito que se possa acrescentar às duas imagens.

(Meus sinceros agradecimentos a Monty Phister pela gentil permissão para usar os gráficos.)

Prova # 10

Esta e as próximas 3 provas vieram de [PWW].

Os triângulos na Prova # 3 podem ser reorganizados de outra maneira que torna a identidade pitagórica óbvia.

(Um diagrama mais elucidativo à direita foi gentilmente enviado a mim por Monty Phister.)

Prova # 11

Desenhe um círculo com raio ce um triângulo retângulo com os lados aeb como mostrado. Nesta situação, pode-se aplicar qualquer um dos poucos fatos bem conhecidos. Por exemplo, no diagrama três pontos F, G, H localizados no círculo formam outro triângulo retângulo com a altitude FK de comprimento a. Sua hipotenusa GH é dividida na razão (c + b) / (c-b). Assim, como na Prova # 6, obtemos a 2 = (c + b) (c-b) = c 2 - b 2.

Prova # 12

Esta prova é uma variação do nº 1, uma das provas originais de Euclides. Nas partes 1,2 e 3, os dois pequenos quadrados são cortados um em direção ao outro de modo que a área sombreada total permaneça inalterada (e igual a a 2 + b 2.) Na parte 3, o comprimento da porção vertical do sombreado a borda da área é exatamente c porque os dois triângulos restantes são cópias do original. Isso significa que pode-se deslizar para baixo na área sombreada como na parte 4. A partir daqui, o teorema de Pitágoras segue facilmente.

(Esta prova pode ser encontrada em H. Eves, Em Círculos Matemáticos, MAA, 2002, pp. 74-75)

Prova # 13

No diagrama, há vários triângulos semelhantes (abc, a'b'c ', a'x e b'y.) Temos sucessivamente

y / b = b '/ c, x / a = a' / c, cy + cx = aa '+ bb'.

E, finalmente, cc '= aa' + bb '. É muito parecido com a Prova 6, mas o resultado é mais geral.

Prova # 14

Esta prova de H.E.Dudeney (1917) começa cortando o quadrado do lado maior em quatro partes que são combinadas com o menor para formar o quadrado construído na hipotenusa.

Greg Frederickson, da Purdue University, autor de um livro verdadeiramente esclarecedor, Dissecações: Plano e Fantasia (Cambridge University Press, 1997), apontou a imprecisão histórica:

Você atribuiu a prova nº 14 a H.E. Dudeney (1917), mas na verdade foi publicado antes (1873) por Henry Perigal, um corretor da bolsa de Londres. Uma prova de dissecação diferente apareceu muito antes, fornecida pelo matemático / astrônomo árabe Thabit no século X. Incluí detalhes sobre essas e outras provas de dissecação (incluindo provas da Lei dos Cossenos) em meu livro recente "Dissections: Plane & Fancy", Cambridge University Press, 1997. Você pode aproveitar a página do livro na web:

Bill Casselman, da Universidade de British Columbia, confirma a informação de Greg. O meu veio de Provas sem palavras por R.B.Nelsen (MAA, 1993).

Prova # 15

Esta prova notável de K. O. Friedrichs é uma generalização da anterior de Dudeney. É realmente geral. É geral no sentido de que uma variedade infinita de provas geométricas específicas pode ser derivada dele. (Roger Nelsen atribui [PWWII, p 3] esta prova a Annairizi da Arábia (cerca de 900 d.C.))

Prova # 16

Esta prova é atribuída a Leonardo da Vinci (1452-1519) [Eves]. Quadriláteros ABHI, JHBC, ADGC e EDGF são todos iguais. (Isso segue da observação de que o ângulo ABH é de 45 o. Isso ocorre porque ABC é um ângulo reto, portanto, o centro O do quadrado ACJI está no círculo circunscrevendo o triângulo ABC. Obviamente, o ângulo ABO é de 45 o.) Agora, área (ABHI) + área (JHBC) = área (ADGC) + área (EDGF). Cada soma contém duas áreas de triângulos iguais a ABC (IJH ou BEF) retirando qual delas obtém o Teorema de Pitágoras.

David King modifica um pouco o argumento

Os comprimentos laterais dos hexágonos são idênticos. Os ângulos em P (ângulo reto + ângulo entre a e c) são idênticos. Os ângulos em Q (ângulo reto + ângulo entre b & c) são idênticos. Portanto, todos os quatro hexágonos são idênticos.

Prova # 17

Esta prova aparece no Livro IV de Coleção Matemática por Pappus de Alexandria (cerca de 300 d.C.) [Eves, Pappas] Ele generaliza o teorema de Pitágoras de duas maneiras: o triângulo ABC não precisa ser retângulo e as formas construídas em seus lados são paralelogramos arbitrários em vez de quadrados. Assim, construa os paralelogramos CADE e CBFG nos lados AC e, respectivamente, BC. Deixe DE e FG se encontrarem em H e desenhe AL e BM paralelos e iguais a HC. Então área (ABML) = área (CADE) + área (CBFG). De fato, com a transformação de tosquia já utilizada nas provas # 1 e # 12, área (CADE) = área (CAUH) = área (SLAR) e também área (CBFG) = área (CBVH) = área (SMBR). Agora, basta somar o que é igual.

Prova # 18

Esta é outra generalização que não requer ângulos retos. É devido a Th & acircbit ibn Qurra (836-901) [Eves]. Se os ângulos CAB, AC'B e AB'C forem iguais, então, os triângulos ABC, AC'B e AB'C são semelhantes. Assim, temos e que leva imediatamente à identidade necessária. Caso o ângulo A esteja correto, o teorema se reduz à proposição pitagórica e à prova # 6.

Prova # 19

Esta prova é uma variação do nº 6. No lado menor AB adicione um triângulo retângulo ABD semelhante ao ABC. Então, naturalmente, DBC é semelhante aos outros dois. De AD = AB 2 / AC e BD = AB & middotBC / AC derivamos Dividindo por AB / AC leva a

Prova # 20

Este é um cruzamento entre o nº 7 e o nº 19. Construa os triângulos ABC ', BCA' e ACB 'semelhantes a ABC, como no diagrama. Por construção, além disso, os triângulos ABB 'e ABC' também são iguais. Assim, concluímos que da similaridade dos triângulos obtemos como antes B'C = AC 2 / BC e BC '= AC & middotAB / BC. Juntar tudo resulta que é o mesmo que

Prova # 21

O que se segue é um trecho de uma carta do Dr. Scott Brodie da Mount Sinai School of Medicine, NY, que me enviou algumas provas do teorema propriamente dito e sua generalização para a Lei dos Cossenos:

A primeira prova que eu simplesmente passo da excelente discussão na série Project Mathematics, baseada no teorema de Ptolomeu sobre quadriláteros inscritos em um círculo: para tais quadriláteros, a soma dos produtos dos comprimentos dos lados opostos, tomados em pares, é igual a produto dos comprimentos das duas diagonais. Para o caso de um retângulo, isso se reduz imediatamente a a 2 + b 2 = c 2.

Prova # 22

Aqui está a segunda prova da carta do Dr. Scott Brodie.

Tomamos como conhecido um teorema de "potência do ponto": Se um ponto é levado para fora de um círculo, e a partir do ponto um segmento é desenhado tangente ao círculo e outro segmento (uma secante) é desenhado, o que corta o círculo em dois pontos distintos, então o quadrado do comprimento da tangente é igual ao produto da distância ao longo da secante do ponto externo ao ponto mais próximo de intersecção com o círculo e a distância ao longo da secante até o ponto mais distante de intersecção com o círculo.

Seja ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto em C. Desenhe a altitude de C até a hipotenusa, deixe P denotar o pé desta altitude. Então, como CPB está certo, o ponto P está no círculo com diâmetro BC e, como CPA está certo, o ponto P está no círculo com diâmetro AC. Portanto, a intersecção dos dois círculos nas pernas BC, CA do triângulo retângulo original coincide com P e, em particular, encontra-se em AB. Denotado por x e y os comprimentos dos segmentos BP e PA, respectivamente, e, como de costume, deixe a, b, c denotam os comprimentos dos lados do ABC opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Então, x + y = c.

Uma vez que o ângulo C está certo, BC é tangente ao círculo com diâmetro CA, e o teorema da potência afirma que a 2 = xc da mesma forma, AC é tangente ao círculo com diâmetro BC, e b 2 = yc. Adicionando, encontramos a 2 + b 2 = xc + yc = c 2 , Q.E.D.

Dr. Brodie também criou um arquivo SketchPad do Geometer para ilustrar esta prova.

Prova # 23

Outra prova é baseada na fórmula de Heron que já usei na Prova nº 7 para exibir áreas de triângulo. Esta é uma forma bastante complicada de provar o Teorema de Pitágoras que, no entanto, reflete sobre a centralidade do Teorema na geometria do plano.

Prova # 24

[Swetz] atribui esta prova a abu 'l'Hasan Th & acircbit ibn Qurra Marw & acircn al'Harrani (826-901). É a segunda das provas dadas por Th & acircbit ibn Qurra. O primeiro é essencialmente o # 2 acima.

A prova se assemelha à parte 3 da prova nº 12. ABC = FLC = FMC = CAMA = AGH = FGE. Por um lado, a área da forma ABDFH é igual à área AC 2 + BC 2 + (ABC + FMC + FLC). Por outro lado, área (ABDFH) = AB 2 + área (BED + FGE + AGH).

Esta é uma variante "desdobrada" da prova acima. Duas regiões pentagonais - a vermelha e a azul - são obviamente iguais e deixam a mesma área após a remoção de três triângulos iguais de cada uma.

A prova é popularizada por Monty Phister, autor do inimitável Matemática Gnarly CD-ROM.

Prova # 25

B.F.Yanney (1903, [Swetz]) deu uma prova usando o "argumento deslizante" também empregado nas Provas # 1 e # 12. Sucessivamente, as áreas de LMOA, LKCA e ACDE (que é AC 2) são iguais, assim como as áreas de HMOB, HKCB e HKDF (que BC 2). BC = DF. Assim, AC 2 + BC 2 = área (LMOA) + área (HMOB) = área (ABHL) = AB 2.

Prova # 26

Essa prova eu ​​descobri no site mantido por Bill Casselman, onde é apresentada por um miniaplicativo Java.

Com todas as provas acima, esta deve ser simples. Triângulos semelhantes, como nas provas # 6 ou # 13.

Prova # 27

As mesmas peças da prova nº 26 podem ser reorganizadas de outra maneira.

Essa dissecação é frequentemente atribuída ao matemático holandês do século 17, Frans van Schooten. [Frederickson, p. 35] considera-o como uma variante articulada de um de ibn Qurra, veja a nota entre parênteses após a prova # 2. Dr. France Dacar da Eslovênia apontou que este mesmo diagrama é facilmente explicado com uma tesselação na prova # 15. Na verdade, pode ser melhor explicado por uma tesselação diferente. (Agradeço a Douglas Rogers por esclarecer isso para mim.)

Prova # 28

Melissa Running from MathForum gentilmente me enviou um link para Uma prova do Teorema de Pitágoras de Liu Hui (século III dC). A página é mantida por Donald B. Wagner, um especialista em história da ciência e tecnologia na China. O diagrama é uma reconstrução de uma descrição escrita de um algoritmo de Liu Hui (século III dC). Para obter detalhes, consulte a página original.

Prova # 29

Uma prova mecânica do teorema merece uma página própria.

Pertinente a essa prova é uma página de provas "extra-geométricas" do Teorema de Pitágoras de Scott Brodie

Prova # 30

Esta prova eu ​​encontrei na sequência de R. Nelsen Provas sem palavras II. (É devido a Poo-sung Park e foi publicado originalmente em Revista Matemática, Dezembro de 1999). Começando com um dos lados de um triângulo retângulo, construa 4 triângulos isósceles retos congruentes com hipotenos de quaisquer duas perpendiculares subsequentes e vértices afastados do triângulo dado. A hipotenusa do primeiro desses triângulos (em vermelho no diagrama) deve coincidir com um dos lados.

Os ápices dos triângulos isósceles formam um quadrado com o lado igual à hipotenusa do triângulo dado. As hipotenas desses triângulos cortam os lados do quadrado em seus pontos médios. De modo que parece haver 4 pares de triângulos iguais (um dos pares está em verde). Um dos triângulos do par está dentro do quadrado, o outro está fora. Sejam os lados do triângulo original a, b, c (hipotenusa). Se o primeiro triângulo isósceles foi construído no lado b, então cada um tem área b 2/4. Nós obtemos

Aqui está uma ilustração dinâmica e outro diagrama que mostra como dissecar dois quadrados menores e reorganizá-los em um grande.

Prova # 31

Dado ABC correto, vamos, como de costume, denotar os comprimentos dos lados BC, AC e da hipotenusa como a, be c, respectivamente. Erga os quadrados nos lados BC e AC como no diagrama. De acordo com o SAS, os triângulos ABC e PCQ são iguais, de modo que seja M o ponto médio da hipotenusa. Denote a interseção de MC e PQ como R. Vamos mostrar que

A mediana da hipotenusa é igual à metade da última. Portanto, CMB é isósceles e mas também temos A partir daqui e segue-se que o ângulo CRP está certo, ou

Com essas preliminares, nos voltamos para os triângulos MCP e MCQ. Avaliamos suas áreas de duas maneiras diferentes:

Por um lado, a altitude de M a PC é igual a AC / 2 = b / 2. Mas também Portanto, por outro lado, Da mesma forma, e também

Podemos resumir as duas identidades: ou

(Minha gratidão vai para Floor van Lamoen que trouxe esta prova à minha atenção. Ela apareceu em Pitágoras - revista holandesa de matemática para crianças em idade escolar - na edição de dezembro de 1998, em artigo de Bruno Ernst. A prova é atribuída a uma estudante da American High School de 1938 chamada Ann Condit.)

Prova # 32

Sejam ABC e DEF dois triângulos retângulos congruentes tais que B está em DE e A, F, C, E são colineares. ,,. Obviamente, calcule a área de ADE de duas maneiras diferentes.

Área (ADE) = AB & middotDE / 2 = c 2/2 e também CE podem ser encontrados em triângulos semelhantes BCE e DFE: Juntando as coisas, obtemos

(Esta prova é uma simplificação de uma das provas de Michelle Watkins, uma estudante da University of North Florida, que apareceu em Espectro Matemático 1997/98, v30, n3, 53-54.)

Douglas Rogers observou que o mesmo diagrama pode ser tratado de forma diferente:

A prova 32 pode ser arrumada um pouco mais, ao longo das linhas das provas posteriores adicionadas mais recentemente, evitando assim triângulos semelhantes.

Claro, ADE é um triângulo na base DE com altura AB, portanto, de área cc / 2.

Mas pode ser dissecado no triângulo FEB e no quadrilátero ADBF. O primeiro tem base FE e altura BC, então área aa / 2. O último, por sua vez, consiste em dois triângulos costas com costas na base DF com alturas combinadas AC, então área bb / 2. Uma dissecação alternativa vê o triângulo ADE como consistindo do triângulo ADC e do triângulo CDE, que, por sua vez, consiste em dois triângulos costas com costas na base BC, com alturas combinadas EF.

As próximas duas provas acompanharam a seguinte mensagem de Shai Simonson, professor do Stonehill College em Cambridge, MA:

Eu estava gostando de olhar seu site e tropecei na longa lista de Provas do Teorema de Pyth.

Em meu curso "The History of Mathematical Ingenuity", eu uso duas provas que usam um círculo inscrito em um triângulo retângulo. Cada prova usa dois diagramas, e cada um é uma visão geométrica diferente de uma única prova algébrica que descobri há muitos anos e publiquei em uma carta ao professor de matemática.

As duas provas geométricas não requerem palavras, mas requerem um pouco de reflexão.

Prova # 33

Prova # 34

Prova # 35

Cracked Domino - uma prova de Mario Pacek (também conhecido como Pakoslaw Gwizdalski) - também requer um pouco de reflexão.

O comprovante enviado via e-mail vinha acompanhado da seguinte mensagem:

Esta prova nova, extraordinária e extremamente elegante do provavelmente o teorema mais fundamental da matemática (vencedor absoluto em relação ao número de provas 367?) É superior a todas as conhecidas pela ciência, incluindo os chineses e James A. Garfield (20º presidente dos Estados Unidos ), por ser direto, não envolve nenhuma fórmula e até mesmo crianças em idade pré-escolar podem obtê-lo. Muito provavelmente é idêntico ao original perdido - mas quem pode provar isso? Ainda não está no Livro de Recordes do Guinness!

A maneira como as peças são combinadas pode muito bem ser original. A dissecção em si é bem conhecida (ver Provas 26 e 27) e é descrita no livro de Frederickson, p. 29. É observado ali que B. Brodie (1884) observou que a dissecção como essa também se aplica a retângulos semelhantes. A dissecção também é um exemplo particular da prova de sobreposição de K.O.Friedrichs.

Prova # 36

Esta prova é devida a J. E. B & oumlttcher e foi citada por Nelsen (Provas sem palavras II, p. 6).

Acho que decifrar essa prova sem palavras é um bom exercício para as aulas de geometria do ensino fundamental ou médio.

Prova # 37

Um applet de David King que demonstra essa prova foi colocado em uma página separada.

Prova # 38

Essa prova também foi comunicada a mim por David King. Quadrados e 2 triângulos se combinam para produzir dois hexágonos de área igual, que podem ter sido estabelecidos como na Prova # 9. No entanto, os dois hexágonos tesselam o plano.

Para cada hexágono na tesselação esquerda, há um hexágono na tesselação direita. Ambas as tesselações têm a mesma estrutura de rede que é demonstrada por um miniaplicativo. O teorema de Pitágoras é provado depois que dois triângulos são removidos de cada um dos hexágonos.

Prova # 39

(Por J. Barry Sutton, The Math Gazette, v 86, n 505, março de 2002, p72.)

Deixe em ABC, ângulo C = 90 o. Como de costume, defina os pontos D e E em AB para que

Por construção, C está no círculo com centro A e raio b. O ângulo DCE subtende seu diâmetro e, portanto, está certo: Segue-se que, uma vez que ACE é isósceles,

Os triângulos DBC e EBC compartilham DBC. Além disso, portanto, os triângulos DBC e EBC são semelhantes. Nós temos ou

a 2 = c 2 - b 2,
a 2 + b 2 = c 2.

O diagrama lembra uma das provas de Th & acircbit ibn Qurra. Mas os dois são bem diferentes.

Prova # 40

Este é de Michael Hardy, da Universidade de Toledo, e foi publicado no The Mathematical Intelligencer em 1988. Deve ser considerado com cautela.

Seja ABC um triângulo retângulo com hipotenusa BC. Denote e Então, conforme C se move ao longo da linha AC, x muda e y também. Suponha que x mudou por uma pequena quantidade dx. Então y mudou por uma pequena quantidade de dy. O triângulo CDE pode ser considerado aproximadamente correto. Assumindo que sim, ele compartilha um ângulo (D) com o triângulo ABD e, portanto, é semelhante a este último. Isso leva à proporção ou uma equação diferencial (separável)

que após a integração dá y 2 - x 2 = const. O valor da constante é determinado a partir da condição inicial para Desde para todo x.

É fácil ter um problema com essa prova. O que significa ser um triângulo? Posso oferecer a seguinte explicação. Os triângulos ABC e ABD estão certos por construção. Temos, e também pelo teorema de Pitágoras. Em termos de x e y, o teorema aparece como

x 2 + a 2 = y 2
(x + dx) 2 + a 2 = (y + dy) 2

que, após a subtração, dá

Para dx e dy pequenos, dx 2 e dy 2 são ainda menores e podem ser negligenciados, levando ao valor aproximado

O truque na vinheta de Michael é pular a questão da aproximação. Mas pode-se realmente justificar a derivação sem confiar no teorema de Pitágoras em primeiro lugar? Independentemente disso, acho muito para meu prazer ter a equação onipresente colocada naquele contexto geométrico.

Prova # 41

Este foi enviado para mim por Geoffrey Margrave da Lucent Technologies. Parece muito com o # 8, mas é alcançado de uma maneira diferente. Crie 3 cópias em escala do triângulo com os lados a, b, c multiplicando-o por a, b e c.Juntos, os três triângulos semelhantes assim obtidos formam um retângulo cujo lado superior é, enquanto o lado inferior é c 2. (O que também mostra que o nº 8 pode ter sido concluído de forma mais curta.)

Além disso, escolher apenas dois triângulos leva a uma variante das Provas # 6 e # 19:

Nesta forma, a prova aparece em [Birkhoff, p. 92].

Ainda outra variante que pode estar relacionada ao # 8 foi enviada por James F .:

O último tem um irmão gêmeo com aeb trocando seus papéis.

Prova # 42

A prova é baseada no mesmo diagrama de # 33 [Pritchard, p. 226-227].

A área de um triângulo é obviamente rp, onde r é o incircle e o semiperímetro do triângulo. A partir do diagrama, a hipotenusa ou a área do triângulo é calculada de duas maneiras:

(A prova é devida a Jack Oliver, e foi publicada originalmente em Gazeta Matemática 81 (março de 1997), páginas 117-118.)

Prova # 43

Aplique o teorema da Potência de um Ponto ao diagrama acima, onde o lado a serve como tangente a um círculo de raio b: O resultado segue imediatamente.

(A configuração aqui é essencialmente a mesma da prova nº 39. ​​A invocação do teorema do Poder de um Ponto pode ser considerada um atalho para o argumento da prova nº 39.)

Prova # 44

As seguintes provas relacionadas ao nº 39 foram enviadas por Adam Rose (23 de setembro de 2004).

Comece com dois triângulos retângulos idênticos: ABC e AFE, A o ponto médio de BE e CF. Marque D em AB e G na extensão de AF, de modo que

(Para obter mais informações, consulte o diagrama acima.) BCD é isósceles. Portanto, como o ângulo C está certo,

Visto que AFE é exterior ao EFG, mas EFG também é isósceles. Assim

Agora temos duas linhas, CD e EG, cruzadas por CG com dois ângulos interiores alternados, ACD e AGE, iguais. Portanto, CD || EG. Os triângulos ACD e AGE são semelhantes, e AD / AC = AE / AG:

e o teorema de Pitágoras segue.

Prova # 45

Essa prova se deve a Douglas Rogers, que a descobriu no decorrer de sua investigação da história da matemática chinesa. Os dois também têm versões online:

A prova é uma variação dos itens 33, 34 e 42. A prova ocorre em duas etapas. Primeiro, como pode ser observado a partir de

onde d é o diâmetro do círculo inscrito em um triângulo retângulo com lados aeb e hipotenusa c. Com base nisso e reorganizando as peças de duas maneiras, fornece outra prova sem palavras do teorema de Pitágoras:

Prova # 46

Essa prova se deve a Tao Tong (Mathematics Teacher, fevereiro de 1994, Reader Reflections). Fiquei sabendo disso através dos bons serviços de Douglas Rogers, que também me chamou a atenção para os Provas 47, 48 e 49. Em espírito, a prova se assemelha à prova # 32.

Sejam ABC e BED triângulos retângulos iguais, com E em AB. Vamos avaliar a área de ABD de duas formas:

Usando as notações conforme indicado no diagrama, podemos encontrar observando a semelhança dos triângulos BFC e ABC:

As duas fórmulas se combinam facilmente na identidade pitagórica.

Prova # 47

Esta prova, que se deve a um estudante do ensino médio John Kawamura, foi relatada por Chris Davis, seu professor de geometria na Head-Rouce School, Oakland, CA (Mathematics Teacher, abril de 2005, p. 518.)

A configuração é virtualmente idêntica à da Prova 46, mas desta vez estamos interessados ​​na área do quadrilátero ABCD. Ambas as diagonais perpendiculares têm comprimento c, de modo que sua área é igual a c 2/2. Por outro lado,

Multiplicando por 2 produz o resultado desejado.

Prova # 48

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 8 (1915-1916), p. 268.)

No diagrama, dois triângulos retângulos - ABC e ADE - são iguais e E está localizado em AB. Como na prova do presidente Garfield, avaliamos a área de um trapézio ABCD de duas maneiras:

onde, como na prova # 47, c & middotc é o produto das duas diagonais perpendiculares do quadrilátero AECD. Por outro lado,

Combinando os dois, obtemos c 2/2 = a 2/2 + b 2/2, ou, após a multiplicação por 2,

Prova # 49

Na prova anterior, podemos proceder de maneira um pouco diferente. Complete um quadrado nos lados AB e AD dos dois triângulos. Sua área é, por um lado, b 2 e, por outro,

o que equivale à mesma identidade de antes.

Douglas Rogers, que observou a relação entre as provas 46-49, também observou que um quadrado poderia ter sido desenhado nas pernas menores dos dois triângulos se o segundo triângulo fosse desenhado na posição "inferior", como nas provas 46 e 47. Neste Nesse caso, avaliaremos novamente a área do quadrilátero ABCD de duas maneiras. Com referência ao segundo dos diagramas acima,

Ele também apontou que é possível pensar em um dos triângulos retângulos deslizando de sua posição na prova 46 para sua posição na prova 48, de modo que sua perna curta deslize ao longo da perna longa do outro triângulo. Em qualquer posição intermediária está presente um quadrilátero com diagonais iguais e perpendiculares, de modo que para todas as posições é possível construir provas análogas às anteriores. O triângulo sempre permanece dentro de um quadrado do lado b - o comprimento da longa perna dos dois triângulos. Agora, também podemos imaginar o triângulo ABC deslizando dentro desse quadrado. O que leva a uma prova que generaliza diretamente # 49 e inclui configurações de provas 46-48. Veja abaixo.

Prova # 50

A área do grande quadrado KLMN é b 2. O quadrado é dividido em 4 triângulos e um quadrilátero:

Não é uma derivação interessante, mas mostra que, quando confrontado com a tarefa de simplificar expressões algébricas, multiplicar por todos os termos para remover todos os parênteses pode não ser a melhor estratégia. Nesse caso, entretanto, há uma estratégia ainda melhor que evita cálculos demorados. Por sugestão de Douglas Rogers, complete cada um dos quatro triângulos em um retângulo apropriado:

Os quatro retângulos sempre cortam um quadrado de tamanho a, de modo que sua área total seja b 2 - a 2. Assim podemos terminar a prova como nas demais provas desta série:

Prova # 51

(W. J. Dobbs, The Mathematical Gazette, 7 (1913-1914), p. 168.)

Este é uma cortesia de Douglas Rogers de sua extensa coleção. Como na Prova 2, o triângulo é girado 90 o em torno de um de seus cantos, de forma que o ângulo entre as hipotenusas nas duas posições seja correto. A forma resultante da área b 2 é então dissecada em dois triângulos retângulos com comprimentos laterais e áreas c 2/2 e

Prova # 52

Esta prova, descoberta por um estudante do ensino médio, Jamie deLemos (The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 79.), foi citada por Larry Hoehn (The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441. )

Por um lado, a área do trapézio é igual a

Equacionar os dois resulta a 2 + b 2 = c 2.

A prova está intimamente relacionada à prova do presidente Garfield.

Prova # 53

Larry Hoehn também publicou a seguinte prova (The Mathematics Teacher, 88 (1995), p. 168.):

Estenda a perna AC do triângulo retângulo ABC para D de modo que, como no diagrama. Em D, desenhe uma perpendicular a CD. Em A, desenhe uma bissetriz do ângulo BAD. Deixe as duas retas se encontrarem em E. Finalmente, deixe EF ser perpendicular a CF.

Por esta construção, os triângulos ABE e ADE compartilham o lado AE, têm outros dois lados iguais: assim como os ângulos formados por esses lados: Portanto, os triângulos ABE e ADE são congruentes por SAS. A partir daqui, o ângulo ABE está certo.

Segue-se então que nos triângulos retângulos ABC e BEF, os ângulos ABC e EBF somam 90 o. Assim

Os dois triângulos são semelhantes, de modo que

Mas, EF = CD, ou x = b + c, que em combinação com a proporção acima dá

Por outro lado, y = u + a, o que leva a

que é facilmente simplificado para c 2 = a 2 + b 2.

Prova # 54k

Mais tarde (The Mathematics Teacher, 90 (1997), pp. 438-441.) Larry Hoehn deu uma segunda olhada em sua prova e produziu uma genérica, ou melhor, uma família inteira de provas de 1 parâmetro, que, para vários valores de o parâmetro, incluiu sua prova mais antiga, bem como # 41. A seguir, ofereço uma variante simplificada inspirada no trabalho de Larry.

Para reproduzir o ponto essencial da prova # 53, ou seja, ter um triângulo retângulo ABE e outro BEF, o último sendo semelhante ao ABC, podemos simplesmente colocar BEF com lados ka, kb, kc, para algum k, como mostrado no diagrama . Para que o diagrama faça sentido, devemos restringir k de modo que (Isso garante que D não vá abaixo de A.)

Agora, a área do retângulo CDEF pode ser calculada diretamente como o produto de seus lados ka e (kb + a), ou como a soma das áreas dos triângulos BEF, ABE, ABC e ADE. Assim nós obtemos

que após a simplificação se reduz a

que está a apenas um passo da proposição pitagórica.

A prova funciona para qualquer valor de k que satisfaça kb / a. Em particular, pois temos a prova nº 41. Além disso, leva à prova # 53. Obviamente, obteríamos o mesmo resultado representando a área do trapézio AEFB de duas maneiras. Pois isso levaria à prova do presidente Garfield.

Obviamente, lidar com um trapézio é menos restritivo e funciona para qualquer valor positivo de k.


O Teorema de Pitágoras: O Caminho da Verdade - História


Departamento de Educação Matemática
J. Wilson, EMT 669

O Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras foi um dos primeiros teoremas conhecidos pelas civilizações antigas. Este famoso teorema recebeu o nome do matemático e filósofo grego Pitágoras. Pitágoras fundou a Escola Pitagórica de Matemática em Cortona, um porto marítimo grego no sul da Itália. Ele é creditado com muitas contribuições para a matemática, embora algumas delas possam ter sido realmente o trabalho de seus alunos.

O Teorema de Pitágoras é a contribuição matemática mais famosa de Pitágoras. Segundo a lenda, Pitágoras ficou tão feliz ao descobrir o teorema que ofereceu um sacrifício de bois. A descoberta posterior de que a raiz quadrada de 2 é irracional e, portanto, não pode ser expressa como uma proporção de dois inteiros, perturbou muito Pitágoras e seus seguidores. Eles eram devotos em sua crença de que quaisquer dois comprimentos eram múltiplos inteiros de alguma unidade de comprimento. Muitas tentativas foram feitas para suprimir o conhecimento de que a raiz quadrada de 2 é irracional. Diz-se ainda que o homem que divulgou o segredo se afogou no mar.

O Teorema de Pitágoras é uma afirmação sobre triângulos contendo um ângulo reto. O Teorema de Pitágoras afirma que:

& quotA área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados nos lados restantes. & quot

De acordo com o Teorema de Pitágoras, a soma das áreas dos dois quadrados vermelhos, quadrados A e B, é igual à área do quadrado azul, quadrado C.

Assim, o Teorema de Pitágoras afirmado algebricamente é:

para um triângulo retângulo com lados de comprimentos a, b e c, onde c é o comprimento da hipotenusa.

Embora Pitágoras seja creditado com o famoso teorema, é provável que os babilônios conhecessem o resultado para certos triângulos específicos pelo menos um milênio antes de Pitágoras. Não se sabe como os gregos demonstraram originalmente a prova do Teorema de Pitágoras. Se os métodos do Livro II dos Elementos de Euclides foram usados, é provável que se tratasse de um tipo de prova de dissecação semelhante ao seguinte:

& quotUm grande quadrado do lado a + b é dividido em dois quadrados menores dos lados aeb, respectivamente, e dois retângulos iguais com os lados aeb, cada um desses dois retângulos pode ser dividido em dois triângulos retângulos iguais desenhando a diagonal c. Os quatro triângulos podem ser dispostos dentro de outro quadrado do lado a + b como mostrado nas figuras.

A área do quadrado pode ser mostrada de duas maneiras diferentes:

1. Como a soma da área dos dois retângulos e dos quadrados:


2. Como a soma das áreas de um quadrado e os quatro triângulos:

Agora, definindo as duas expressões do lado direito nestas equações iguais, dá


Portanto, o quadrado em c é igual à soma dos quadrados em a e b. (Burton 1991)

Existem muitas outras provas do Teorema de Pitágoras. Um veio da civilização chinesa contemporânea, encontrado no texto chinês mais antigo existente contendo teorias matemáticas formais, o Clássico Aritmético do Gnoman e os Caminhos Circulares do Céu.

A prova do teorema de Pitágoras inspirada em uma figura deste livro foi incluída no livro Vijaganita, (cálculos de raiz), do matemático hindu Bhaskara. A única explicação de Bhaskara para sua prova foi, simplesmente, & quotBehold & quot.

Essas provas e a descoberta geométrica em torno do teorema de Pitágoras levaram a um dos primeiros problemas na teoria dos números conhecido como o problema de Pythgorean.

Encontre todos os triângulos retângulos cujos lados são de comprimento integral, encontrando assim todas as soluções nos inteiros positivos da equação de Pitágoras:

Os três inteiros (x, y, z) que satisfazem essa equação são chamados de tripla pitagórica.


A fórmula que irá gerar todos os triplos pitagóricos apareceu pela primeira vez no Livro X dos Elementos de Euclides:


onde n e m são inteiros positivos de paridade oposta e m & gtn.

Em seu livro Aritmética, Diofanto confirmou que poderia obter triângulos retângulos usando essa fórmula, embora a tenha chegado a uma linha de raciocínio diferente.

O Teorema de Pitágoras pode ser apresentado aos alunos durante os anos do ensino médio. Esse teorema se torna cada vez mais importante durante os anos do ensino médio. Não é suficiente simplesmente declarar a fórmula algébrica do Teorema de Pitágoras. Os alunos também precisam ver as conexões geométricas. O ensino e a aprendizagem do Teorema de Pitágoras podem ser enriquecidos e aprimorados por meio do uso de papel pontilhado, geoboards, dobradura de papel e tecnologia de computador, bem como muitos outros materiais de instrução. Por meio do uso de materiais manipuláveis ​​e outros recursos educacionais, o Teorema de Pitágoras pode significar muito mais para os alunos do que apenas

e inserir números na fórmula.

O que se segue é uma variedade de provas do Teorema de Pitágoras, incluindo uma de Euclides. Essas provas, junto com os manipuladores e a tecnologia, podem melhorar muito a compreensão dos alunos sobre o Teorema de Pitágoras.

O que se segue é um resumo da prova de Euclides, um dos matemáticos mais famosos. Essa prova pode ser encontrada no Livro I dos Elementos de Euclides.

Proposição: Em triângulos retângulos, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das pernas.

Euclides começou com a configuração pitagórica mostrada acima na Figura 2. Em seguida, ele construiu uma linha perpendicular de C ao segmento DJ no quadrado da hipotenusa. Os pontos H e G são as intersecções desta perpendicular com os lados do quadrado da hipotenusa. Encontra-se ao longo da altitude até o triângulo retângulo ABC. Veja a Figura 3.

A seguir, Euclides mostrou que a área do retângulo HBDG é igual à área do quadrado em BC e que a área do retângulo HAJG é igual à área do quadrado em AC. Ele provou essas igualdades usando o conceito de similaridade. Os triângulos ABC, AHC e CHB são semelhantes. A área do retângulo HAJG é (HA) (AJ) e como AJ = AB, a área também é (HA) (AB). A semelhança dos triângulos ABC e AHC significa

ou, como se pode comprovar, a área do retângulo HAJG é igual à área do quadrado do lado AC. Da mesma forma, os triângulos ABC e CHG são semelhantes. Então

Como a soma das áreas dos dois retângulos é a área do quadrado na hipotenusa, isso completa a prova.

Euclides estava ansioso para colocar esse resultado em seu trabalho o mais rápido possível. No entanto, como seu trabalho sobre similaridade não aconteceria até os Livros V e VI, foi necessário que ele descobrisse outra maneira de provar o Teorema de Pitágoras. Assim, ele usou o resultado de que os paralelogramos são o dobro dos triângulos com a mesma base e entre os mesmos paralelos. Desenhe CJ e BE.

A área do retângulo AHGJ é o dobro da área do triângulo JAC, e a área do quadrado ACLE é o triângulo duplo BAE. Os dois triângulos são congruentes por SAS. O mesmo resultado segue de maneira semelhante para o outro retângulo e quadrado. (Katz, 1993)

Clique aqui para ver uma animação GSP para ilustrar esta prova.
As próximas três provas são provas mais facilmente vistas do Teorema de Pitágoras e seriam ideais para estudantes de matemática do ensino médio. Na verdade, são provas de que os alunos podem ser capazes de se construir em algum momento.
A primeira prova começa com um retângulo dividido em três triângulos, cada um contendo um ângulo reto. Essa prova pode ser vista através do uso de tecnologia de computador ou com algo tão simples como uma ficha de 3x5 cortada em triângulos retângulos.

Pode ser visto que os triângulos 2 (em verde) e 1 (em vermelho), irão se sobrepor completamente ao triângulo 3 (em azul). Agora, podemos dar uma prova do Teorema de Pitágoras usando esses mesmos triângulos.

I. Compare os triângulos 1 e 3.

Os ângulos E e D, respectivamente, são os ângulos retos nesses triângulos. Ao comparar suas semelhanças, temos

e da Figura 6, BC = AD. Então,

Por multiplicação cruzada, obtemos:

II. Compare os triângulos 2 e 3:

Ao comparar as semelhanças dos triângulos 2 e 3, obtemos:

Da Figura 4, AB = CD. Por substituição,

Finalmente, adicionando as equações 1 e 2, obtemos:

Provamos o Teorema de Pitágoras.

A próxima prova é outra prova do Teorema de Pitágoras que começa com um retângulo. Ele começa construindo o retângulo CADE com BA = DA. Em seguida, construímos a bissetriz do ângulo de & ltBAD e o deixamos interceptar ED no ponto F. Assim, & ltBAF é congruente com & ltDAF, AF = AF e BA = DA. Então, por SAS, triângulo BAF = triângulo DAF. Como & ltADF é um ângulo reto, & ltABF também é um ângulo reto.

Em seguida, uma vez que m & ltEBF + m & ltABC + m & ltABF = 180 graus e m & ltABF = 90 graus, & ltEBF e & ltABC são complementares. Assim, m & ltEBF + m & ltABC = 90 graus. Nós também sabemos que
m & ltBAC + m & ltABC + m & ltACB = 180 graus. Dado que m & ltACB = 90 graus, m & ltBAC + m & ltABC = 90 graus. Portanto, m & ltEBF + m & ltABC = m & ltBAC + m & ltABC e m & ltBAC = m & ltEBF.

Pelo teorema de similaridade AA, o triângulo EBF é semelhante ao triângulo CAB.

Agora, seja k a razão de similaridade entre os triângulos EBF e CAB.

Assim, o triângulo EBF tem lados com comprimentos ka, kb e kc. Uma vez que FB = FD, FD = kc. Além disso, como os lados opostos de um retângulo são congruentes, b = ka + kc e c = a + kb. Ao resolver para k, temos

e concluímos a prova.

A próxima prova do Teorema de Pitágoras que será apresentada é aquela que começa com um triângulo retângulo. Na próxima figura, o triângulo ABC é um triângulo retângulo. Seu ângulo reto é o ângulo C.

A seguir, desenhe CD perpendicularmente a AB como mostrado na próxima figura.

Compare os triângulos 1 e 3:

O triângulo 1 (verde) é o triângulo retângulo com o qual começamos antes de construir o CD. O triângulo 3 (vermelho) é um dos dois triângulos formados pela construção do CD.


Figura 13
Triângulo 1. Triângulo 3.

Ao comparar esses dois triângulos, podemos ver que

Compare os triângulos 1 e 2:

O triângulo 1 (verde) é igual ao anterior. Triângulo 2 (azul) é o outro triângulo formado pela construção de CD. Seu ângulo reto é o ângulo D.


Figura 14
Triângulo 1. Triângulo 2.

Ao comparar esses dois triângulos, vemos que

Ao adicionar as equações 3 e 4, obtemos:

Das Figuras 11 e 12, com CD, temos que (p + q) = c. Por substituição, obtemos

A próxima prova do Teorema de Pitágoras que será apresentada é aquela em que será usado um trapézio.

Pela construção que foi usada para formar este trapézio, todos os 6 triângulos contidos neste trapézio são triângulos retângulos. Assim,

Área do trapézio = A soma das áreas dos 6 triângulos

E usando as respectivas fórmulas para área, obtemos:

Concluímos a prova do Teorema de Pitágoras usando o trapézio.


A próxima prova do Teorema de Pitágoras que apresentarei é aquela que pode ser ensinada e comprovada usando quebra-cabeças. Esses quebra-cabeças podem ser construídos usando a configuração pitagórica e, em seguida, dissecando-os em diferentes formas.

Antes de a prova ser apresentada, é importante que a próxima figura seja explorada, uma vez que se relaciona diretamente com a prova.

Nesta configuração pitagórica, o quadrado da hipotenusa foi dividido em 4 triângulos retângulos e 1 quadrado, MNPQ, no centro. Uma vez que MN = AN - AM = a - b. Cada lado do quadrado MNPQ tem comprimento de a - b. Isso dá o seguinte:

Área do Quadrado na hipotenusa = Soma das Áreas dos 4 triângulos e a Área do Quadrado MNPQ

Como mencionado acima, esta prova do Teorema de Pitágoras pode ser explorada e comprovada usando quebra-cabeças que são feitos a partir da configuração de Pitágoras. Os alunos podem fazer esses quebra-cabeças e usar as peças dos quadrados nas pernas do triângulo retângulo para cobrir o quadrado da hipotenusa. Esta pode ser uma ótima conexão porque é uma atividade & quotassistente & quot. Os alunos podem então usar o quebra-cabeça para provar o Teorema de Pitágoras por conta própria.


Para criar este quebra-cabeça, copie o quadrado em BC duas vezes, uma vez colocado abaixo do quadrado em AC e uma vez à direita do quadrado em AC, conforme mostrado na Figura 17.

O triângulo CDE é congruente com o triângulo ACB pela perna.

No triângulo ACB, m & ltACB = 90 e os lados têm comprimentos a, b, c.

No triângulo CDE, m & ltCDE = 90 e os lados têm comprimentos a, b, c.

O triângulo EGH é congruente com o triângulo ACB pela perna. O m & ltEGH = 90 e seus lados têm comprimentos a e c. Como EF = b-a = AI, EG = b. Assim, as diagonais CE e EH são iguais ac.


PITÁGORA, NÚMERO IRRACIONAL E TEOREMA DE PITÁGORA

Pitágoras é um matemático grego ao mesmo tempo antigo filósofo do século VI. Ele é muito influente para a ciência, especialmente na matemática. Uma de suas omissões famosas é o Teorema de Pitágoras, que quase todas as pessoas já ouviram. O Teorema de Pitágoras disse que a hipotenusa do triângulo retângulo é a soma do quadrado do 2º outro lado do triângulo retângulo. Por causa de suas omissões na matemática, ele também chamou de & # 8220O Pai do Número & # 8221.

Um dos alunos, que é chamado de Hippasus, disse que & # 87302, que é a hipotenusa do triângulo isósceles, cujo comprimento cada pé é 1, é o número irracional. No entanto, Hippasus então assassinado porque Pitágoras não pode argumentar as evidências levantadas por Hippasus.

Hippasus é um aluno de Pitágoras vindo de Metapontum. Ele também um matemático ao mesmo tempo antigo filósofo grego sobre o século VI. Ele é considerado o inventor do número irracional, especialmente provar que a raiz quadrada de 2 & # 87302 é um número irracional. Ironicamente, a invenção causou exatamente a morte. Pitágoras argumenta a existência de um número irracional. Pitágoras e os outros alunos presumiram que todos os números são números racionais e não há número irracional. Hippasus prova este teorema usando reductio ad absurdum (provar por contradição) provando número que é um número irracional. Pitágoras não pode argumentar esta afirmação e assumir que Hippasus é um seguidor de ensinamento errante, de modo que se propôs a engolfar Hippasus.

O número irracional é um número real que não pode ser dividido (resultado porque nunca desistiu). Nesse caso, o número irracional não pode ser expresso como a / b, com a e b como inteiros e b, ao contrário de nulos. Portanto, o número irracional não é o número racional. O exemplo de número irracional, como π, & # 87302 e número e. Número Phi (π) que durante o tempo que reconhecemos, na verdade impreciso 3,14, mas 3,1415926535897932 & # 8230. Também o & # 87302 número que se formularmos tornando-se 1,41421356237309504880 & # 8230.E o número que é 2.71828182 & # 8230.

O número irracional pode ser provado usando reductio ad absurdum ou em inglês chamado de prova por contradição. É um argumento lógico iniciado com uma suposição, a partir da suposição encontrada um resultado absurdo, ilógico ou contraditório, portanto, a conclusão da suposição será de valor errado e a negação se tornará o valor correto. Um enunciado matemático às vezes pode ser provado por reductio ad absurdum, isto é, assumindo a negação (negação) do enunciado que será provado e, então, do pressuposto degradado uma contradição. Quando a contradição é alcançável logicamente, então a suposição provou falha, de modo que a afirmação está correta.

Provado por contradição ou reductio ad absurdum não é um argumento errado, mas se feito verdadeiramente será um argumento válido. Se provar por contradição produzir um erro, o erro residirá na degradação do processo da contradição, não em maio da prova.

O exemplo clássico para a prova por contradição na era grega antiga é provar que a raiz quadrada de dois é um número irracional (não pode ser expresso como comparação de um inteiro). Esta afirmação é demonstrável assumindo, ao contrário, que 2 é um número racional, de forma que pode ser expresso como comparação do inteiro a / b na fração mais simples. Mas se a / b = & # 87302, então a2 = 2b2.Isso significa que a2 é um número par. Como o quadrado do número ímpar possivelmente não é par, então a é um número par. Como a / b é a fração mais simples, b certamente anômala (porque a fração do número par / par ainda pode ser moderada). Mas porque a é um número par (suponha 2r = a, média a2 = 4r2) é o número de vezes de 4 e b2 é o número de vezes de 2 (par). Essa média b também é um número par, e isso é uma contradição à conclusão antes de tudo que b certamente anômalo. Como a suposição inicial de que 2 é um número racional resulta em contradição, a suposição certamente está errada e a negação (de que 2 é irracional) é a afirmação correta.

Uma das omissões de Pitágoras que é muito popular é o Teorema de Pitágoras. O teorema chamado como o antigo matemático e filósofo grego, ele é Pitágoras. Pitágoras não é o inventor do teorema, mas ele é a primeira pessoa que provou a verdade do teorema, então ele deu a apreciação dando nome ao teorema como seu nome.

Este teorema expressa que a soma de quadrados largos em foots a triângulos retângulos são iguais a quadrados largos em hipotenos. O triângulo retângulo é o triângulo que tem um ângulo reto (90o0), os pés são dois lados cujas formas angulares são chanfradas, e a hipotenusa é o terceiro lado que trata do ângulo reto. A fórmula deste teorema é a2 + b2 = c2, onde aeb são os lados do triângulo retângulo ec é a hipotenusa.


Aplicação útil: experimente qualquer forma

Usamos triângulos em nosso diagrama, a forma 2-D mais simples. Mas o segmento de linha pode pertencer a algum forma. Pegue os círculos, por exemplo:

Agora, o que acontece quando os somamos?

Você adivinhou: Círculo de raio 5 = Círculo de raio 4 + Círculo de raio 3.

Muito selvagem, hein? Podemos multiplicar o Teorema de Pitágoras por nosso fator de área (pi, neste caso) e chegar a uma relação para qualquer forma.

Lembre-se, o segmento de linha pode ser qualquer parte da forma. Poderíamos ter escolhido o raio, diâmetro ou circunferência do círculo - haveria um fator de área diferente, mas a relação 3-4-5 ainda se manteria.

Portanto, se você está adicionando pizzas ou máscaras de Richard Nixon, o teorema de Pitágoras o ajuda a relacionar as áreas de quaisquer formas semelhantes. Agora, isso é algo que eles não lhe ensinaram na escola primária.


O teorema de Pitágoras torna possível a construção e o GPS

OK, hora de um teste surpresa. Você tem um triângulo retângulo - isto é, um onde dois dos lados se unem para formar um ângulo de 90 graus. Você sabe o comprimento desses dois lados. Como você descobre o comprimento do lado restante?

Isso é fácil, desde que você tenha estudado geometria no colégio e conheça o teorema de Pitágoras, uma afirmação matemática com milhares de anos.

O teorema de Pitágoras afirma que, com um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos dois lados que formam o ângulo reto é igual ao quadrado do terceiro lado mais longo, que é chamado de hipotenusa. Como resultado, você pode determinar o comprimento da hipotenusa com a equação uma 2 + b 2 = c 2 , no qual uma e b representam os dois lados do ângulo reto e c é o lado comprido.

Quem foi Pitágoras?

Um truque bem astuto, hein? Mas o homem que deu nome a esse truque matemático é quase tão fascinante. Pitágoras, um pensador grego antigo que nasceu na ilha de Samos e viveu de 570 a 490 a.C., era uma espécie de personagem viajado - em partes iguais filósofo, matemático e líder de culto místico. Em sua vida, Pitágoras não era conhecido tanto por resolver a duração da hipotenusa quanto por sua crença na reencarnação e adesão a um estilo de vida ascético que enfatizava uma dieta vegetariana estrita, adesão a rituais religiosos e muita autodisciplina que ele ensinou a seus seguidores.

O biógrafo de Pitágoras, Christoph Riedweg, o descreve como uma figura alta, bonita e carismática, cuja aura foi realçada por seu traje excêntrico - uma túnica branca, calças e uma coroa de ouro na cabeça. Rumores estranhos giravam em torno dele - que ele poderia fazer milagres, que ele tinha uma perna artificial dourada escondida sob suas roupas e que ele possuía o poder de estar em dois lugares ao mesmo tempo.

Pitágoras fundou uma escola perto do que hoje é a cidade portuária de Crotone, no sul da Itália, que foi chamada de Semicírculo de Pitágoras. Seguidores, que juraram seguir um código de sigilo, aprenderam a contemplar os números de maneira semelhante ao misticismo judaico da Cabala. Na filosofia de Pitágoras, cada número tinha um significado divino e sua combinação revelava uma verdade maior.

Com uma reputação hiperbólica como essa, não é de admirar que Pitágoras tenha sido considerado o criador de um dos teoremas mais famosos de todos os tempos, embora ele não tenha sido o primeiro a inventar o conceito. Os matemáticos chineses e babilônios venceram-no por um milênio.

& quotO que temos são evidências de que eles conheciam a relação pitagórica por meio de exemplos específicos & quot, escreve G. Donald Allen, professor de matemática e diretor do Centro de Instrução Mediada por Tecnologia em Matemática da Texas A & ampM University, por e-mail. & quot Foi encontrada uma tabuinha babilônica inteira que mostra vários triplos de números que atendem à condição: uma 2 + b 2 = c 2 . & quot

Como o teorema de Pitágoras é útil hoje?

O teorema de Pitágoras não é apenas um exercício matemático intrigante. É utilizado em uma ampla variedade de campos, desde construção e manufatura até navegação.

Como explica Allen, um dos usos clássicos do teorema de Pitágoras é lançar as bases de edifícios. “Veja, para fazer uma fundação retangular para, digamos, um templo, você precisa fazer ângulos retos. Mas como você pode fazer isso? Olhando para ele? Isso não funcionaria para uma estrutura grande. Mas, quando você tem o comprimento e a largura, pode usar o teorema de Pitágoras para fazer um ângulo reto preciso com qualquer precisão. & Quot

Além disso, "este teorema e aqueles relacionados a ele nos deram todo o nosso sistema de medição", diz Allen. & quotEle permite que os pilotos naveguem em céus ventosos e os navios estabeleçam seu curso. Todas as medições de GPS são possíveis devido a este teorema. & Quot

Na navegação, o teorema de Pitágoras fornece ao navegador de um navio uma maneira de calcular a distância até um ponto no oceano que é, digamos, 300 milhas ao norte e 400 milhas a oeste (480 quilômetros ao norte e 640 quilômetros a oeste). Também é útil para cartógrafos, que o usam para calcular a inclinação de colinas e montanhas.

"Este teorema é importante em toda a geometria, incluindo a geometria sólida", continua Allen. & quotÉ também fundamental em outros ramos da matemática, muito da física, geologia, tudo da engenharia mecânica e aeronáutica. Os carpinteiros usam-no e os maquinistas também. Quando você tem ângulos e precisa de medições, precisa deste teorema. & Quot

Uma das experiências formativas na vida de Albert Einstein foi escrever sua própria prova matemática do teorema de Pitágoras aos 12 anos. O fascínio de Einstein pela geometria acabou desempenhando um papel em seu desenvolvimento das teorias da relatividade geral e especial.


Assista o vídeo: Teorema de Pitágoras (Dezembro 2021).